ブラウン運動

確率微分方程式

Definition 1 (確率微分方程式)

\(x(t)\) が確率微分方程式

\[ \dd{x} = f(x(t), w(t), t) \dd{t} + g(x(t), w(t), t) \dd{w} \]

の解であることは、\(x\) が

\[ \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \Delta x = f(x, w, t) \Delta t + g(x, w, t) \Delta w \]

の定める確率分布に従う確率変数であること。(\(\fallingdotseq\) 上の式を満たすこと)

Theorem 1 (伊藤の公式)

\(x\) を確率微分方程式 \(\dd{x} = f(x, w, t) \dd{t} + g(x, w, t) \dd{w}\) に従う確率過程とする。

このとき、関数 \(h=h(x, t)\) の値は次の確率微分方程式

\[\dd{h} = \left( \frac{\partial h}{\partial x} f + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}g^2 \sigma^2 + \frac{\partial h}{\partial t} \right) \dd{t} + \frac{\partial h}{\partial x} g \dd{w}\]

に従う。

導出: テーラー展開する。

\[\begin{split}\dd{h} & = \frac{\partial h}{\partial x} \dd{x} + \frac{\partial h}{\partial t} \dd{t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} \dd{x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial t} \dd{x} \dd{t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} \dd{t^2} + \cdots \\ & ~~ ( \dd{x} = f \dd{t} + g \dd{w} \text{~~を代入すると} ) \\ & = \frac{\partial h}{\partial x} (f \dd{t} + g \dd{w}) + \frac{\partial h}{\partial t} \dd{t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} (f \dd{t} + g \dd{w})^2 + \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial t} (f \dd{t} + g \dd{w}) \dd{t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} \dd{t^2} + \cdots \\\end{split}\]

この中から\(\dd{t}, \dd{w}\)の1次の項だけを取りだすことを考える。(1次以降の微小量は極限をとると消えるので)

\[\begin{split}& \frac{\partial h}{\partial x} (f \dd{t} + g \dd{w}) + \frac{\partial h}{\partial t} \dd{t} ~~ \leftarrow \text{この行はそのまま残る} \\ &+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} (f \dd{t} + g \dd{w})^2 ~ (\leftarrow \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} ( \underbrace{f^2 \dd{t}^2}_{\text{消える}} + \underbrace{2fg \dd{t} \dd{w}}_{\dd{w}=\pm \sigma \sqrt{\dd{t}} \text{で1.5次なので消える}} + \underbrace{g^2 \dd{w}^2)}_{ \dd{w}^2 = \sigma^2 \dd{t} \text{なので残る}} ) \\ &+ \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial t} (f \dd{t} + g \dd{w}) \dd{t} ~~ \leftarrow \text{この行は全部消える} \\ &+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} \dd{t^2} ~~ \leftarrow \text{この行は全部消える} \\ &+ \cdots ~~ \leftarrow \text{これ以降の3次は全部消える} \end{split}\]

なので

\[\begin{split}\dd{h} & = \frac{\partial h}{\partial x} (f \dd{t} + g \dd{w}) + \frac{\partial h}{\partial t} \dd{t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} g^2 \sigma^2 \dd{t} \\ & = \left( \frac{\partial h}{\partial x} f + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}g^2 \sigma^2 + \frac{\partial h}{\partial t} \right) \dd{t} + \frac{\partial h}{\partial x} g \dd{w}\end{split}\]

が成り立つ。

ブラック=ショールズ過程

\(\dd{x} = ax \dd{t} + bx \dd{w} \) を満たす確率過程

\[\frac{\dd{x}}{x} = ax \dd{t} + bx \dd{w} ~~~ (\text{両辺をxで割る})\]

(左辺のほうはlogになりそうなので) \(h(x) = \log x\) とおいて、伊藤の公式を使うと

\[\begin{split}\dd{h} & = \left( \frac{\partial h}{\partial x} f + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}g^2 \sigma^2 + \frac{\partial h}{\partial t} \right) \dd{t} + \frac{\partial h}{\partial x} g \dd{w} \\ & = \left( \frac{1}{x} ax + \frac{1}{2} (-\frac{1}{x^2}) (bx)^2 \sigma^2 + 0 \right) \dd{t} + \frac{1}{x} bx \dd{w} \\ & = \left(a - \frac{1}{2} b^2 \sigma^2 \right) \dd{t} + b \dd{w} \end{split}\]

両辺伊藤積分すると

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}\int_0^t \dd{h} & = \int_0^t \left(a - \frac{1}{2} b^2 \sigma^2 \right) \dd{t} + b \dd{w} \\\end{split}\\\begin{split}\log x(t) - \log x_0 = \left(a - \frac{1}{2} b^2 \sigma^2 \right) t + b w(t) \\\end{split}\\x(t) = x_0 \exp\left( (a - \frac{1}{2} b^2 \sigma^2 ) t + b w(t) \right).\end{aligned}\end{align} \]

平均は増える、中央値はノイズの分だけ減る、

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